探索三維空間，意味著將我們的數學領域從平面 $\mathbb{R}^2$ 延伸至 $\mathbb{R}^3$，透過在原點 $O$ 相交的三個互相垂直的有向直線（x軸、y軸和z軸）來建立。
正如我們利用指數函數的麥克勞林級數 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，從簡單的多項式項構建複雜函數一樣，我們也透過將三維空間劃分為八個 八分體 透過三個相交的 坐標平面 （xy、yz 和 xz 平面）。這種轉變使我們能定位任意 點 P 為一個 有序三元組 (a, b, c)，代表其到這些平面的有向距離——從二維空間中「無限複雜性」的 雪花曲線 過渡到物理世界的結構化體積。
三維空間 $\mathbb{R}^3$ 的幾何結構
為了定位空間中的點，我們固定通過 $O$ 的三條互相垂直的有向直線，稱為 x軸、 y軸和 z軸。它們的方向遵循 右手定則：如果你用右手手指從正x軸方向捲向正y軸方向，拇指所指方向即為正z軸方向（圖2）。
三個坐標軸確定了三個坐標平面： xy平面 （$z=0$）， yz平面 （$x=0$），以及 xz平面 （$y=0$）。這些平面將空間分為八個部分，稱為 八分體。第一個八分體是所有坐標值均為正的區域。
對於任意點 $P$，三元組 $(a, b, c)$ 包含 x座標 （$a$）， y座標 和 z座標 （$c$）。這些分別是點到yz、xz和xy平面的有向距離。
數學映射類比
透過累加各分量來定位點 $P(a, b, c)$，在概念上與累加級數項類似。考慮求級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ 的和。這需要辨識出 $e^x$ 麥克勞林級數的熟悉模式。
級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ 與 $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$ 相關。為了解決此問題，我們調整索引以匹配熟悉的形式：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
就如同我們在冪級數中辨識成分一樣，我們也透過辨識軸與平面來確定空間位置。
維度的陷阱
注意： 當給定一個方程式時，我們必須根據上下文判斷它是 $\mathbb{R}^2$ 中的一條曲線，還是 $\mathbb{R}^3$ 中的一個曲面。
- 方程式 $y=5$： 在 $\mathbb{R}^1$ 中，它是一個點；在 $\mathbb{R}^2$ 中，它是一條水平線；在 $\mathbb{R}^3$ 中，它是一個完整的 平面 平行於xz坐標平面（圖7）。
- 方程式 $y=x$： 在 $\mathbb{R}^3$ 中，由於 $z$ 是「自由」的，此方程式代表一個通過z軸的垂直平面，並沿著直線 $y=x$ 切割xy平面。